УДК 517 (075.8)
ББК 74.5
К вопросу об эквивалентности аксиомы индукции и принципа наименьшего элемента
В.Г. Абдрахманов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Уфимского государственного авиационного университета
В государственном образовательном стандарте для педвузов по специальности ««Математика» с дополнительной специализацией «Информатика»» (2000 г.) содержится утверждение об эквивалентности аксиомы индукции и принципа наименьшего элемента. Статья посвящена уточнению этого вопроса: на самом деле принцип наименьшего элемента эквивалентен принципу полной (возвратной) индукции. 
Ключевые слова: числовая система, аксиома индукции, принцип наименьшего элемента, принцип полной (возвратной) индукции, эквивалентность.
To a question on equivalence of an axiom of an induction and a principle of the least element
Abdrakhmanov V.G.
The state educational standard for pedagogical universities on speciality «mathematics with additional specialization the computer science» (2000) contains the statement about equivalence of an axiom of an induction and a principle of the least element. Article is devoted specification of this question: actually the principle of the least element is equivalent to a principle of a full (returnable) induction. 
Keywords: numerical system, induction axiom, principle of the least element, principle of a full (returnable) induction, equivalence.
1. Постановка задачи.
1.1. Определение. Системой Пеано называется система , состоящая из множества N c определенным на нем унарным отношением  ““ (следовать за) и удовлетворяющая аксиомам:
)  существует единственный (следующий за ним) элемент ; 
) существует элемент  такой, что  ; 
) ;
) (аксиома индукции) если множество  таково, что и  то .
Элементы множества  называются натуральными числами и обозначаются символами 1, 2, …
По Грассману [1, с. 20] в системе  определяется операция “+” (сложение), а на ее основе – бинарное отношение “>” (больше), что приводит к системе . Это позволяет ввести понятие наименьшего элемента множества  и доказать следующее.
1.2. Утверждение (принцип наименьшего элемента). Каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент.
Таким образом, из аксиом  и аксиомы индукции  принцип наименьшего элемента вытекает как следствие. Поэтому, если аксиома индукции и принцип наименьшего элемента эквивалентны, то для системы, состоящей из множества N с определенными на нем отношениями “следовать за” и “больше”, для которой имеют место аксиомы  и принцип наименьшего элемента (вместо ), аксиома индукции должна быть следствием. Покажем, что это, однако, не так, для чего построим контрпример.
2. Контрпример.
Рассмотрим множество  Пары  будем считать равными, если  и  Определим на  унарное отношение ““ (следовать за), полагая пару следующей за , а также бинарное отношение “  “ (больше), считая, что  если  
Получим систему .
2.1. Утверждение. Для системы  выполняются аксиомы:
 существует единственная (следующая за ней) пара ;
 существует пара  такая, что ;
 
□ Возьмем произвольную пару . По аксиоме , существует и единственна пара  и аксиома  имеет место.
Предположим, что существует пара  такая, что . Имеем  Отсюда следует, что , что противоречит аксиоме . Следовательно, аксиома  также имеет место.
Пусть , т.е.  Тогда  и по аксиоме  . Таким образом,  и выполняется аксиома .■
Отметим, что введенное отношение позволяет расположить элементы множества  в порядке возрастания следующим образом: .
2.2. Определение. Пара  называется наименьшим элементом множества , если  и 
2.3. Утверждение. Для имеет место принцип наименьшего элемента.
□ Положим , где

и пусть  – непустое множество. Рассмотрим возможные случаи.
1)  Введем отображение  положив  и пусть  – прообраз множества  при отображении . Нетрудно видеть, что осуществляет порядковый изоморфизм систем  и . А поскольку очевидно, что множество  имеет наименьший элемент, то наименьший элемент имеет и множество .
2) . Этот случай аналогичен предыдущему.
3)  где непустые множества  Поскольку  то по доказанному выше  имеет наименьший элемент, который ввиду определения отношения “  “ и будет являться наименьшим элементом в . ■
Нам осталось доказать:
2.4. Утверждение. Для  не выполняется аксиома:
 если множество  таково, что  и , то .
□ (От противного). Рассмотрим множество . Очевидно,  и . Пусть . Тогда , и потому . Условия аксиомы  выполнены, в силу чего . Однако это не так, поскольку, например, , но . Пришли к противоречию, и аксиома  не выполняется. ■
2.5. Замечание. Итак, мнение об эквивалентности аксиомы индукции и принципа наименьшего элемента несостоятельно. Нетрудно понять причину подобного заблуждения: она кроется в том, что в аксиому  ошибочно включается существование элемента, предшествующего данному [3, с. 43] (ср. с [1, с. 20]), тогда как имеет место доказываемое на основе аксиомы .
2.6. Утверждение. Каждое отличное от 1 натуральное число имеет предшествующее.
□ Пусть  – множество, состоящее из 1 и всех натуральных чисел, имеющих предшествующее. По условию, . Предположим, что . Тогда , так как имеет предшествующее ему число . Ввиду аксиомы  отсюда следует, что , и значит каждое отличное от 1 натуральное число имеет предшествующее. ■
Литература
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1989.
2. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Государственные требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника педвуза по специальности “«Математика» с дополнительной специализацией «Информатика»”. – М. , 2000.
3. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967.
4. Нечаев В.И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 1975.
5. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. – М.: Наука, 1971.